Производная обратной функции

Пусть $f(x)$ - строго монотонна в $O(x_{0})$ и $f'(x_{0}) \neq 0$, тогда обратная функция $f^{-1}(y)$ - дифференцируема в $y_{0} = f(x_{0})$ и $(f^{-1}(y))'(y_{0}) = \dfrac{1}{f'(x_{0})}$

Пусть: $$\begin{matrix} x = f^{-1}(y) & x_{0}=f^{-1}(y_{0}) \\ y=f(x) & y_{0}=f(x_{0}) \end{matrix}$$ По теореме о непрерывности обратной функции: $\Delta x \to 0 \iff \Delta y \to 0$ $(*)$ $$\lim_{\Delta y \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta y} = \lim_{\underbrace{ \Delta x \to 0 }_{ (*) }} \dfrac{1}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}=\dfrac{1}{f'(x_{0})} ~~~~\square$$